Rabu, 17 Maret 2010

BENDA TEGAR

Benda tegar adalah istilah yang sering digunakan dalam dunia Fisika untuk menyatakan suatu benda yang tidak akan berubah bentuknya setelah diberikan suatu gaya pada benda itu. Pada sebuah benda tegar, setiap titik harus selalu berada pada jarak yang sama dengan titik-titik lainya.

Benda tegar adalah sistem partikel yang mana posisi relatif partikel-partikelnya,
satu dengan yang lainnya di dalam sistem, (dianggap) tetap. Akibatnya
ketika benda ini berotasi terhadap suatu sumbu tetap, maka jarak setiap
partikel dalam sistem terhadap sumbu rotasi akan selalu tetap. Di sini kita
hanya akan meninjau gerak rotasi dengan sumbu putar yang tetap orientasinya.


Kinematika Rotasi
Tinjau rotasi sebuah partikel dalam lintasan lingkaran dengan jejari r.
Jarak yang telah ditempuh dalam selang waktu t adalah s terkait dengan
sudut (dalam radian). Hubungan s dan diberikan oleh s = r . Untuk selang waktu yang sangat kecil maka besar kecepatan linier diberikan oleh
ds
dt
= r
d
dt
(6.1)
besaran ! d
dt disebut sebagai kecepatan sudut, yang arahnya diberikan
oleh arah putar tangan kanan, tegak lurus bidang lingkaran. Jadi hubungan
antara kecepatan linier dengan kecepatan sudut diberikan oleh
~v = ~! ×~r. (6.2)
Percepatan sudut didefinisikan sebagai laju perubahan kecepatan sudut
terhadap waktu,

d!
dt
(6.3)
Hubungan antara percepatan linier dan percepatan sudut diberikan oleh
dv
dt
= r
d!
dt
= r (6.4)
dengan arah diberikan oleh arah perubahan !, atau secara vektor
~a = ~ × r. (6.5)

Karena persamaan-persamaan kinematika yang menghubungkan , ! dan
bentuknya sama dengan persamaan-persamaan kinematika gerak linear,
maka dengan memakai analogi ini akan diperoleh kaitan sebagai berikut untuk
keceptan sudut konstan
(t) = 0 + !t (6.6)
dan kaitan-kaitan berikut untuk percepatan sudut konstan
(t) = 0 + !0t + 1
2t2 (6.7)
!(t) = !0 + t (6.8)
!(t)2 = !2
0 + 2 . (6.9)

Dinamika Rotasi

Torka dan momentum sudut
Untuk memudahkan penyelidikan dan analisa terhadap gerak rotasi, didefinisikan
beberapa besaran sebagai analog konsep gaya dan momentum. Pertama
didefinisikan konsep momentum sudut l. Momentum sudut suatu partikel
yang memiliki momentum linear ~p dan berada pada posisi ~r dari suatu
titik referensi O adalah
~l
= ~r × ~p (6.10)
Perlu diperhatikan bahwa nilai l bergantung pada pemilihan titik referensi
O, nilainya dapat berubah bila digunakan titik referensi yang berbeda.
Laju perubahan momentum sudut terhadap waktu didefinisikan sebagai
besaran torka ~
d~l
dt
=
d
dt
(~r × ~p) =
d~r
dt × ~p +~r ×
d~p
dt
(6.11)
karena bentuk
d~r
dt × ~p = ~v × m~v = 0 (6.12)
maka
~ = ~r × ~F =
d~l
dt
. (6.13)


Sistem partikel

Untuk suatu sistem banyak partikel total momentum sudutnya diberikan
oleh
~L
=
X
i
~l
i (6.14)
dengan ~li adalah momentum sudut partikel ke-i. Total torka yang bekerja
pada sistem ini
~ tot =
X
i
d~li
dt
=
X
i
i (6.15)

Torka yang bekerja pada sistem dapat dikelompokkan menjadi dua jenis,
torka internal yang bekerja pada partikel oleh partikel lain dalam sistem,
dan torka eksternal yang berasal dari gaya eksternal. Karena prinsip aksireaksi,
dan bila garis kerja gaya aksi-reaksi tersebut segaris maka total torka
antara dua partikel i dan j
ij + ji = ~ri × ~Fij +~rj × ~Fji = (~ri −~rj) × Fij = 0. (6.16)
Sehingga total torka yang bekerja pada sistem partikel hanyalah torka eksternal,
dan perubahan momentum sudut total sistem hanya bergantung pada
torka eksternal
d~L
dt
= ~ ekst tot (6.17)

Ketika tidak ada torka eksternal maka momentum sudut total sistem akan
konstan.


Energi Kinetik Rotasi

Kita tinjau suatu sistem partikel yang berotasi terhadap suatu sumbu tetap.
Jarak setiap partikel terhadapa sumbu rotasi selalu tetap. Bila sistem partikel
ini adalah benda tegar maka kesemua partikel akan bergerak bersamasama
dengan kecepatan sudut yang sama. Energi kinetik sistem partikel
tersebut adalah
Ek =
1
2
X
i
miv2
i =
1
2
X
i
mir2
i

!2 (6.18)

dengan ri adalah jarak partikel ke i tegak lurus terhadap sumbu rotasi. Besaran
yang ada dalam tanda kurung didefinisikan sebagai momen inersia I
dari sistem relatif terhadap sumbu rotasi
I =
X
i
mir2
i (6.19)

Bila bendanya kontinum, maka perumusan momen inersianya menjadi
I =
Z
r2? dm (6.20)
dengan r? adalah jarak tegak lurus elemen massa dm ke sumbu putar.

Teorema sumbu sejajar

Tinjau sebuah benda seperti tampak pada gambar di bawah ini
Gambar 6.1: Gambar untuk teorema sumbu sejajar
dengan titik pm adalah titik pusat massanya. Momen inersia benda terhadap
sumbu di titik P dan momen inersia terhadap sumbu yang sejajar
tetapi melalui titik pusat massanya terkait sebagai berikut
IP =
Z
r2? dm =
Z
~r? · ~r?dm (6.21)
tetapi ~r? = ~rpm +~r0 dan
~r? · ~r? = (~rpm +~r0) · (~rpm +~r0) = r2
pm + r02 + 2~rpm · ~r0
sehingga
IP =
Z
(r2
pm + r02 + 2~rpm · ~r0)dm (6.22)
suku pertama tidak lain adalah Mr2
pm (M adalah massa total benda), suku
kedua adalah momen inersia terhadap pusat massa, sedangkan suku ketiga
lenyap (karena tidak lain adalah posisi pusat massa ditinjau dari pusat
massa). Sehingga
IP = Ipm +Mr2
pm (6.23)


Teorema sumbu tegak lurus

Tinjau benda pada gambar di bawah ini
Kita ketahui bahwa
Iz =
Z
r2?dm =
Z
(x2 + y2)dm = Iy + Ix (6.24)
Jadi momen inersia terhadap suatu sumbu sama dengan jumlah momen inersia
terhadap dua sumbu yang saling tegak terhadapnya.


Usaha

Definisi usaha untuk gerak rotasi sama dengan definisi usaha pada gerak
linear. Sebuah partikel diberi gaya ~F. Partikel itu bergerak melingkar dengan
lintasan yang berjejari r, menempuh lintasan sepanjang d~s. Usaha yang
dilakukan gaya ~F tadi adalah
dW = ~F · d~s (6.25)
Tetapi kita dapat menuliskan d~s = d~ ×~r, sehingga
dW = ~F · d~ ×~r = ~r × ~F · d~ = ~ · d~ (6.26)

Tetapi usaha yang dilakukan sama dengan perubahan energi kinetik sehingga
~ · d~ = d(
1
2
I!2) = I!d! (6.27)
dengan d! = dt dan d = !dt maka
~ · ~!dt = I~! · ~dt (6.28)
Maka kita peroleh kaitan
~ = I~ (6.29)
analog dengan hukum Newton kedua.

Gabungan Gerak Translasi dan Rotasi

Tinjau sebuah benda dengan posisi pusat massa ~rpm yang bergerak dengan
kecepatan ~vpm. Misalkan benda ini selain bertranslasi, juga berotasi. Kecepatan
suatu bagian dari benda tadi dapat dituliskan sebagai ~v = ~vpm +~v0,
dengan ~v0 adalah kecepatan relatif terhadap pusat massa. Sehingga energi
kinetik benda tadi
Ek =
1
2
Z
v2dm =
1
2
Z
(~vpm +~v0) · (~vpm +~v0)dm (6.30)

atau dapat dituliskan
1
2
Z
(v2
pm +~v02 + 2~vpm · ~v0)dm (6.31)
suku terakhir lenyap (karena merupakan kecepatan pusat massa dilihat dari
kerangka pusat massa). Sehingga
Ek =
1
2
Mv2
pm + E0kpm (6.32)
dengan E0kpm adalah energi kinetik benda karena gerak relatifnya terhadap
pusat massa. Bila bendanya benda tegar, maka suku terakhir ini adalah
energi kinetik rotasi terhadap pusat massa
Ek =
1
2
Mv2
pm +
1
2
Ipm!2 (6.33)

Kesetimbangan Benda Tegar

Sebuah benda tegar berada dalam keadaan seimbang mekanis bila, relatif
terhadap suatu kerangka acuan inersial
1. Percepatan linier pusat massanya nol.
2. Percepatan sudutnya mengelilingi sembarang sumbu tetap dalam kerangka
acuan ini juga nol.

Persyaratan di atas tidak mengharuskan benda tersebut dalam keadaan diam,
karena persyaratan pertama membolehkan benda bergerak dengan kecepatan
pusat massanya konstan, sedangkan persyaratan kedua membolehkan benda
berotasi dengan kecepatan sudut rotasi yang konstan juga. Bila benda benarbenar
diam (relatif terhadap suatu kerangka acuan), yaitu ketika kecepatan
linier pusat massanya dan kecepatan sudut rotasinya terhadap sembarang
sumbu tetap, bernilai nol keduanya, maka benda tegar tersebut dikatakan
berada dalam keseimbangan statik. Bila suatu benda tegar berada dalam
keadaan seimbang statik, maka kedua persyaratan di atas untuk keseimbangan
mekanik akan menjamin benda tetap dalam keadaan seimbang statik.
Persyaratan pertama ekuivalen dengan persyaratan bahwa total gaya eksternal
yang bekerja pada benda tegar sama dengan nol
~Feks = 0. (6.34)
Sedangkan persyaratan kedua ekuivalen dengan persyaratan bahwa total
torka eksternal yang bekerja pada benda tegar sama dengan nol
~ eks = 0. (6.35)


Jenis-Jenis Keseimbangan

Dalam kasus ini yang akan ditinjau hanyalah keseimbangan benda tegar di
dalam pengaruh gaya eksternal yang konservatif. Karena gayanya adalah
gaya konservatif, maka terdapat hubungan antara gaya yang bekerja dengan
energi potensialnya, misalnya untuk satu arah-x
Fx = −
@U
@x
(6.36)
Keadaan seimbang terjadi ketika nilai Fx = 0, kondisi ini tidak lain adalah
syarat titik ekstrem untuk fungsi energi potensial U(x). Andaikan saja titik
seimbang ini kita pilih sebagai posisi x = 0. Fungsi energi potensial dapat
diekspansikan (sebagai deret pangkat dalam x) di sekitar titik ini
U(x) = U0 + a1x + a2x2 + a3x3 + . . . (6.37)
Karena
Fx = −
@U
@x |x=0 = 0 (6.38)
maka a1 = 0. Gaya yang bekerja pada benda ketika digeser dari titik keseimbangannya,
tergantung pada nilai a2,
Fx = −2a2x − 3a3x2 + . . . (6.39)
Untuk nilai x disekitar x = 0, Fx dapat didekati hanya dengan suku pertamanya,
sehingga
Fx −2a2x (6.40)
Bila a2 > 0 maka pergeseran kecil dari titik seimbang, memunculkan gaya
yang mengarahkan kembali ke titik seimbang. Keseimbangan ini disebut
keseimbangan stabil. Bila a2 > 0 maka pergeseran sedikit dari titik seimbang,
memunculkan gaya yang menjauhkan dari titik seimbangnya. Keseimbangan
ini disebut keseimbangan labil. Bila a2 = 0 maka pergeseran sedikit dari titik
seimbang tidak memunculkan gaya. Keseimbangan ini disebut keseimbanganNETRAL.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar